相関係数とは、2つのデータの間にどの程度の関連性があるのかを数値で表した指標です。統計学やデータ分析をはじめ、マーケティング、経済、教育、研究など幅広い分野で利用されています。
たとえば、「気温が高くなるほどアイスクリームの売上が増える」「商品の価格が高くなるほど販売数量が減る」といった2つの変数の関係を分析するときに、相関係数を利用できます。
この記事では、相関係数の意味や見方、計算方法、正の相関・負の相関の違い、利用するときの注意点についてわかりやすく解説します。
相関係数とは
相関係数は、2つの変数の関係の強さや方向を数値で示す指標です。
一般に「相関係数」という場合、ピアソンの積率相関係数を指すことが多く、その値は「-1から+1」の範囲になります。
基本的な考え方は次のとおりです。
| 相関係数 | データの関係 |
|---|---|
| +1 | 完全な正の相関 |
| +1に近い | 強い正の相関 |
| 0に近い | 線形な関係が弱い |
| -1に近い | 強い負の相関 |
| -1 | 完全な負の相関 |
相関係数の絶対値が1に近いほど、2つの変数の間に強い線形関係があることを示します。
ただし、相関係数が0だからといって「2つの変数にまったく関係がない」とは限りません。ピアソンの相関係数は主に線形関係を測るため、曲線的な関係が存在していても相関係数が0に近くなる場合があります。
正の相関とは
正の相関とは、一方の変数が大きくなるにつれて、もう一方の変数も大きくなる傾向がある関係です。
たとえば、ある地域で気温が高くなるほど冷たい飲料の販売数が増える傾向が確認された場合、気温と冷たい飲料の販売数には正の相関がある可能性があります。
相関係数は0より大きくなり、+1に近づくほど強い正の線形関係を示します。
負の相関とは
負の相関とは、一方の変数が大きくなるにつれて、もう一方の変数が小さくなる傾向がある関係です。
たとえば、一定の条件下で商品の価格が高くなるほど販売数量が少なくなる傾向が確認された場合、価格と販売数量には負の相関があると考えられます。
相関係数は0より小さくなり、-1に近づくほど強い負の線形関係を示します。
無相関とは
相関係数が0、または0に近い場合、2つの変数の間に明確な線形関係が確認できない状態を「無相関」と表現することがあります。
ただし、「無相関＝無関係」ではありません。
たとえば、一方の値が増えるにつれてもう一方の値が一度増加し、その後減少するような曲線的な関係では、明確な関連性が存在していてもピアソンの相関係数が0に近くなることがあります。
そのため、相関係数だけを見るのではなく、散布図などを併用してデータの分布を確認することが重要です。
相関係数の計算方法
ピアソンの相関係数は、2つの変数の共分散を、それぞれの標準偏差を使って標準化することで求められます。
相関係数を「r」、2つの変数を「X」「Y」とすると、基本的には次の関係で計算されます。
相関係数 r ＝ XとYの共分散 ÷（Xの標準偏差 × Yの標準偏差）
標本データについては、各データと平均値との差を利用して計算できます。
計算結果は-1から+1までの範囲となります。
実際のデータ分析では、表計算ソフトや統計解析ソフト、プログラミング言語などを利用して計算することが一般的です。
相関係数はどのくらいなら「強い」のか
相関係数について、「0.7以上なら強い相関」「0.4以上なら中程度の相関」といった目安が紹介されることがあります。
しかし、相関係数の強さを判断する絶対的な基準はありません。
同じ相関係数でも、研究分野やデータの性質、サンプル数、分析目的などによって評価は異なります。そのため、特定の数値だけを基準にして「強い」「弱い」と断定するのは適切ではありません。
相関係数を評価するときは、その分野で一般的に用いられている基準やデータの背景も考慮する必要があります。
相関係数と散布図
相関係数を分析するときに重要なのが「散布図」です。
散布図とは、2つの変数を縦軸と横軸に取り、それぞれのデータを点として配置したグラフです。
正の相関が強ければ、一般的に点は左下から右上に向かって並ぶ傾向があります。
負の相関が強ければ、左上から右下に向かって並ぶ傾向があります。
一方、点が広範囲に分散している場合には、線形な相関が弱い可能性があります。
散布図を確認することで、相関係数だけでは把握しにくい外れ値や曲線的な関係なども発見できます。
相関係数を見るときの注意点
相関係数は便利な指標ですが、数値だけで判断するとデータを誤って解釈する可能性があります。
特に重要なのが「相関関係と因果関係は異なる」という点です。
相関関係があっても因果関係があるとは限らない
2つの変数に強い相関が確認されたとしても、一方がもう一方の原因であるとは限りません。
たとえば、暑い時期に「アイスクリームの売上」と「熱中症の患者数」がともに増加したとします。
この2つのデータには正の相関が見られる可能性がありますが、「アイスクリームの売上が増えたから熱中症が増えた」と結論付けることはできません。
両方に影響している「気温」という別の要因が存在するからです。
このような第三の変数は、交絡因子として分析上重要になることがあります。
外れ値の影響を受けることがある
ほかのデータから大きく離れた「外れ値」が存在すると、相関係数が大きく変化する場合があります。
そのため、相関係数を計算する前後には散布図などを確認し、データの分布や外れ値の有無を把握することが重要です。
データの範囲によって結果が変わる
分析対象となるデータの範囲を限定すると、相関係数が変化することがあります。
特定の年代や地域、期間などにデータを限定した結果、その範囲では相関が弱く見えるケースもあります。
どのようなデータを対象に計算された相関係数なのかを確認することも重要です。
ピアソン以外の相関係数
相関を調べる方法はピアソンの相関係数だけではありません。
代表的なものとして「スピアマンの順位相関係数」や「ケンドールの順位相関係数」があります。
ピアソンの積率相関係数
2つの変数の線形関係を評価する代表的な相関係数です。
数値データ同士の線形的な関係を分析するときによく利用されます。
スピアマンの順位相関係数
データを順位に変換して、その順位の関係を評価する方法です。
値そのものよりも順位関係を分析したい場合や、単調な関係を評価したい場合などに利用されます。
ケンドールの順位相関係数
データの順位関係を利用して関連性を評価する方法です。
順位データの分析などに利用されます。
どの相関係数を利用するかは、データの尺度や分布、分析したい関係によって選択する必要があります。
相関係数が利用される分野
相関係数はさまざまな分野のデータ分析に利用されています。
マーケティングでは、広告費と売上、Webサイトへのアクセス数と問い合わせ数などの関係を分析する際に利用できます。
金融・経済分野では、異なる金融資産の値動きや経済指標同士の関係を分析する際に使われます。
教育分野では、学習時間とテスト結果など、複数のデータの関連性を調査する際に利用できます。
研究分野でも、さまざまな変数間の関連性を調べる基本的な統計手法として活用されています。
Excelで相関係数を求める方法
Microsoft Excelでは、CORREL関数を利用して相関係数を計算できます。
基本的な形式は次のとおりです。
CORREL（配列1, 配列2）
たとえば、A列とB列に対応する2種類の数値データが入力されている場合、それぞれのデータ範囲を指定することで相関係数を求められます。
大量のデータでも簡単に計算できるため、日常的なデータ分析にも利用しやすい方法です。
ただし、計算された数値だけで結論を出さず、散布図やデータ数、外れ値なども確認することが重要です。
相関係数と決定係数の違い
相関係数と混同されやすい指標に「決定係数」があります。
単回帰分析で切片を含む通常の設定では、説明変数と目的変数のピアソンの相関係数を「r」とすると、決定係数「R²」はr²と一致します。
たとえば相関係数が0.8なら、その二乗は0.64です。
ただし、相関係数と決定係数は同じ指標ではありません。相関係数は関係の方向と線形的な強さを示すのに対し、決定係数は回帰モデルが目的変数の変動をどの程度説明しているかを表す指標です。
また、重回帰分析などでは単純に1つの相関係数を二乗したものとは限りません。
相関係数を正しく理解するポイント
相関係数を利用するときは、次の点を意識することが重要です。
- 相関係数は基本的に-1から+1の範囲で表される
- +1に近いほど強い正の線形関係を示す
- -1に近いほど強い負の線形関係を示す
- 0に近くても変数同士が完全に無関係とは限らない
- 相関関係があっても因果関係があるとは限らない
- 外れ値によって相関係数が大きく変化することがある
- 相関係数だけでなく散布図も確認する
- データの性質に応じて適切な相関係数を選択する
まとめ
相関係数とは、2つの変数の関係の方向や強さを数値で表す統計指標です。
代表的なピアソンの相関係数は-1から+1の範囲となり、+1に近ければ強い正の相関、-1に近ければ強い負の相関を示します。
ただし、相関係数が高いからといって因果関係が存在するとは限りません。また、相関係数が0に近くても、曲線的な関係などが存在する可能性があります。
相関係数を正しく活用するためには、数値だけを見るのではなく、散布図、外れ値、データ数、分析対象となる範囲、背景にある要因などを総合的に確認することが大切です。
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